|
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Beberapa jenis bilangan dalam matematika, diantaranya bilangan Asli yang dilambangkan 1,2,3,4,…, bilangan Cacah dilambangkan 0,1,2,3,… sedangkan lambang bilangan …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…; disebut bilangan Bulat. Masih banyak lagi jenis-jenis bilangan lainnya, dari beberapa jenis bilangan-bilangan tersebut hanya bilangan bulat yang dapat dipakai dalam permasalahan sehari-hari. Selama ini banyak siswa yang belum paham mengoperasikan, memahami sifat-sifatnya dan menerapkan bilangan bulat dalam pemecahan maslaah. Maka dari itu saya akan membahas tentang bilangan Bulat. B. Tujuan 1. Menjelaskan sifat operasi hitung bilangan bulat. 2. Menggunakan sifat operasi bilangan bulat dalam pemecahan masalah sehari-hari yang relevan.
BAB II LANDASAN TEORI David Ausubel (1960, 1963) memperkenalkan konsep pengatur awal dalam teorinya. Pengatur awal mengarahkan para siswa ke materi yang akan mereka pelajari, dan menolong mereka untuk mengingat kembali informasi yang berhubungan yang dapat digunakan dalam membantu menanamkan pengetahuan baru. Suatu pengatur awal dapat dianggap semacam pertolongan mental, dan disajikan sebelum materi baru. Banyak penelitian membuktikan, bahwa pengatur-pengatur awal meningkatkan pemahaman siswa tentang berbagai macam materi pelajaran (Hartley/Davies, 1976; Mayer, 1979). Tetapi, efek-efek pengatur-pengatur awal terhadap belajar ternyata tergantung pada bagaimana pengatur-pengatur awal itu digunakan. Rupa-rupanya pengatur awal lebih berguna untuk mengajarkan isi pelajaran yang telah mempunyai struktur teratur yang mungkin tidak secara otomatis terlihat oleh para siswa. Beberapa peneliti (Barnes & Clawson, 1975; Ausubel, 1978) mengemukakan bahwa pengatur-pengatur awal belum pada umumnya ditemukan menolong siswa belajar informasi faktual yang tidak diatur dengan jelas, atau materi pelajaran yang terdiri atas sejumlah besar topik-topik yang terpisah-pisah. Kozlow (1978) mengemukakan bahwa pengatur awal dapat kurang efektif utnuk bidang studi sains, lebih efektif untuk konsep-konsep klasifikasional, dan lebih efektif di kelas-kelas yang lebih tinggi. Adapun bentuk pengatur awal yang diteliti oleh Kozlow semuanya berupa bacaan.
BAB III PEMBAHASAN A. Langkah 1 - Konsep yang akan diajarkan : Bilangan Bulat - Pengatur awal : Para siswa diminta membaca gambaran-gambaran dalam kehidupan sehari-hari sebagai berikut 1. Suatu toko melakukan penjualan. Suatu waktu toko tersebut mendapatkan keuntungan. Jumlah keuntungan ini dapat dituliskan dengan bilangan cacah. Tetapi pada saat toko mengalami kerugian, bagaimana menuliskan besarnya kerugian ini? 2. Ketinggian permukaan bumi dihitung berdasarkan ketinggian air laut. Tempat yang letaknya lebih tinggi dari air laut dapat kita nyatakan dengan bilangan cacah, tetapi tempat yang letaknya lebih rendah dari air laut tidak dapat dituliskan dalam bilangan cacah. 3. Jika kita menabung Rp 500.000,00 di sebuah bank diekpresikan dengan bilangan bulat 500.000 atau + 500.000. Bagaimana mengekpresikan dengan bilangan jika kita meminjam Rp 500.000,00 dari sebuah bank? 4. Jika dalam suatu pertandingan sepak bola menang dengan 3 gol diekpresikan dengan bilangan bulat +3, bagaimana mengekpresikan dengan bilangan jika dalam pertandingan tersebut kalah dengan 3 gol. Gambaran semacam itu merupakan salah satu landasan munculnya bilangan bulat, yaitu … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. B. Langkah 2 Kegiatan-kegiatan belajar : para siswa membaca dan diskusi uraian-uraian tentang operasi bilangan bulat. 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Bahan Diskusi a. Untuk mempermudah, aturan berikut adalah untuk menentukan hasil operasi penjumlahan dan pengurangan dua bilangan bulat: 1) Mulai berjalan (start) pada posisi 0 dan menghadap ke kanan. 2) Berjalan maju untuk menyatakan bilangan positif dan berjalan mundur untuk menyatakan bilangan negatif. 3) Tetap di tempat untuk menyatakan nol. 4) Arah terus (berlanjut) untuk menyatakan operasi penjumlahan (+). 5) Arah berbalik untuk menyatakan operasi pengurangan (-). Contoh 1 Cara berjalan pada garis bilangan untuk menentukan hasil penjumlahan 3 + 2 adalah sebagai berikut: Mulai dari 0 menghadap ke kanan 3 berarti maju 3 langkah + berarti terus Mulai berjalan dari 0 menghadap ke kanan | | 2 berarti maju 2 langkah
      
(i)
     
(ii)
   
Gambar 4 Contoh 2 Cara berjalan pada garis bilangan untuk menentukan hasil pengurangan 3 – (-2) adalah sebagai berikut: Mulai dari 0 menghadap ke kanan 3 berarti maju 3 langkah - berarti berbalik arah Mulai berjalan dari 0 Menghadap ke kanan | | -2 berarti mundur 2 langkah
(i)
(ii) | | | | | | |  | | | | maka diperoleh 3 – (-2) = 5 | | | |
     
Gambar 5 b. Selanjutnya dengan aturan seperti di atas, tentukan hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan-bilangan bulat negatif berikut: 1) a) –3 + (-2) 2) a) –3 – (-2) b) –5 + (-1) b) –5 – (-1) c) –2 + (-5) c) –2 – (-5) c. Dengan berdasarkan pengalaman pada no. 2 lakukanlah operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat negatif lainnya sehingga apakah yang dapat disimpulkan dari; 1) –a + (-b) 2) –a – (-b); jika a > 0, b > 0. Latihan 2 1) Suhu udara di kota Dundee pada pukul 20.00 waktu setempat adalah –4oC. Pada pukul 22.00 suhu turun dua derajat. Berapakah suhu di kota Dundee pada pukul 22.00 waktu setempat tersebut? 2) Suatu pesawat udara terbang dari ketinggian –100 m dari suatu gunung dan kemudian naik sampai +250 m. Berapa meterkah pesawat udara itu naik? 3) Pada suatu deret suku ke-n ditentukan dengan rumus Un = 2 – 3n. Tentukan jumlah tiga suku pertama deret tersebut! 4) a. Seekor burung terbang ke utara dengan kecepatan 10 m/detik tanpa tiupan angin. Dari utara bertiup angin dengan kecepatan 12 m/detik. Terangkan apa yang terjadi! b. Nyatakanlah kecepatan terbang burung itu ke arah utara dan juga kecepatan angin ke arah utara dalam m/detik. Salin dan lengkapilah: Burung itu sebenarnya terbang ke utara dengan kecepatan ……… m/detik. 5) Isilah persegi ajaib berikut ini dengan bilangan-bilangan bulat negatif berurutan mulai dari –9 sampai dengan –1, sehingga jumlah bilangan-bilangan dalam tiap baris, kolom dan diagonal sama.
Dari uraian di atas dapat diperoleh kesimpulan pada penjumlahan bilangan bulat bahwa: 1) Untuk setiap bilangan bulat a, maka berlaku: 0 + a = a dan a + 0 = a 2) Untuk menjumlahkan dua bilangan bulat yang bukan nol adalah sebagai berikut: a) Jika dua bilangan sama tandanya (keduanya bilangan bulat positif atau keduanya bilangan bulat negatif). (1) Tentukan nilai mutlak kedua bilangan tersebut (2) Tentukan jumlahnya seperti pada bilangan asli (3) Tempatkan tanda positif atau negatif sesaui dengan tanda kedua bilangan yang dijumlahkan pada hasil (2). Contoh: +5 sesuai (1) dan (2) 5  +2 2 7 sesuai (3) diperoleh +7 -3 sesuai (1) dan (2) 3 -7 7 10 sesuai (3) diperoleh –10 b) Jika dua bilangan tidak sama tandanya (yang satu bilangan positif, yang lain bilangan negatif) (1) Tentukan nilai mutlak kedua bilangan tersebut (2) Dari hasil (1), kurangkan yang kecil terhadap yang besar (3) Tempatkan tanda sesuai tanda dengan bilangan yang nilai absolutnya terbesar pada hasil (2). Contoh: +3 sesuai (1) dan (2) 7 -7 3 4 sesuai (3) diperoleh -4 -4 sesuai (1) dan (2) 9 +9 4 5 sesuai (3) diperoleh +5 Sedangkan pada pengurangan bilangan bulat didefinisikan dengan a – b = a + (-b) Contoh: (-3) – (-4) = (-3) + 4 = +1. 2. Perkalian Bilangan Bulat Bahan Diskusi a. Seorang karyawan suatu perusahaan menerima gaji Rp 800.000,00 per bulan. Sedangkan pengeluaran untuk memenuhi kebutuhan hidup keluarganya adalah Rp 1.000.000,00 per bulan. Untuk mencukupi kekurangan anggaran tersebut ia mendapatkan kiriman uang dari orang tuanya. Berapakah jumlah uang kiriman dari orang tuanya dalam satu tahun untuk mencukupi kekurangan tersebut? b. Berdasarkan pengalaman menyelesaikan soal no. 1 di atas, bagaimanakah menafsirkan (+3) x (-2)? (+2) x (-2)? c. Salin daftar di bawah ini, kemudian isilah daftar itu. Pada bagian mana dari daftar itu sebaiknya diisi? Pola yang dilihat pada kolom-kolom dan baris-baris hendaknya dipakai sebagai petunjuk pengisian daftar tersebut. Bilangan kedua | Bilangan pertama | X | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | -5 | | | | | | | | | | | | | -4 | | | | | | | | | | | | | -3 | | | | | | | | | | | | | -2 | | | | | | | | | | | | | -1 | | | | | | | | | | | | | 0 | | | | | | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | | | | | | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | 2 | | | | | | | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | | 3 | | | | | | | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | | 4 | | | | | | | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | | 5 | | | | | | | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | d. Kesimpulan apa yang dapat diperoleh dari pengisian daftar tersebut di atas untuk a, b bilangan bulat tentang: 1) a x (-b) 2) (-a) x b 3) (-a) x (-b) e. Kesimpulan lain yang dapat diperoleh dari pengisian daftar tersebut adalah ….. 3.  Hukum Distributif: a(b + c) = ab + ac 
a. Kebun Pak Ali berbentuk persegipanjang yang ditanami mangga dan jambu seperti terlihat pada Gambar 6. | | | | | | |   | | | | Luas kebun = 8(7 + 2) m2 Luas kebun mangga dan luas kebun jambu = (8 x 7) + (8 x 2) m2 Jadi: 8(7 + 2) = 8 x 7 + 8 x 2 Tunjukkan bahwa rumus berikut adalah benar | | | |
b. Bagaimanakah cara Anda menunjukkan bahwa a (b – c) = ab – ac. c. Apakah hukum distributive perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan berlaku juga untuk bilangan bulat negatif. Coba selidiki! Latihan 3. a. Dalam suatu tes yang terdiri dari 50 butir soal ditetapkan untuk jawab yang benar diberikan nilai 1 dan untuk jawab yang salah diberikan nilai –1, soal yang tidak dijawab diberi nol. 1) Pada tes itu Nana menjawab dengan benar 36 soal dan menjawab salah 14 soal. Berapakah nilai yang diperolehnya? 2) Lala menjawab benar 20 soal dan menajwab salah 30 soal. Berapakah nilai yang diperolehnya? b. Sebuah bola dilemparkan ke atas dengan kecepatan 20 m/detik. Setelah t detik kecepatannya v m/detik, dengan v ditentukan dengan rumus v = 20 – 10t. 1) Hitunglah kecepatan setelah: a) 1 detik b) 4 detik 2) Terangkan arti dari hasil-hasil tersebut.
|
